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Quick Lerncheck Mathematik   
 
Liebe Kollegiatin, lieber Kollegiat,
in diesem Newsletter schauen wir uns die Lektionen 8 und 9 der Integralrechnung an.

In den Lektionen 8 und 9 wird ein neues Thema behandelt, das nur bedingt mit der Integralrechnung zusammenhängt. Die Kernaussagen in diesen Lektionen sind für mathematisch Interessierte überraschend, die Anwendungen der Kernaussagen betreffen viele Bereiche des Alltags und spielen in ganz verschiedenen nicht-mathematischen Wissensdisziplinen eine Rolle.

Für Mathematikinteressierte lohnt es sich also sicher - wenn man Lust und Zeit dazu hat - diese zwei Lektionen durchzuarbeiten. Die Beweise der Kernaussagen stellen allerdings relativ hohe Anforderungen an den Leser und die Leserin.
Wer sich aber - wie Sie jetzt - auf Prüfungen vorbereitet und deshalb auf das Wichtigste konzentrieren will, erfährt im Folgenden, worauf man in den Lektionen 8 und 9 unter dem Aspekt von Mindestanforderungen achten sollte.

Vom Abschnitt 8.1 müssen Sie nur wissen, wie die Graphen der Exponentialfunktionen
y = a hoch x verlaufen. Schauen Sie sich dazu die Zeichnungen auf den Seiten 101 und 102 an. An diesen Zeichnungen sollten Sie sich die Eigenschaften 1 bis 6 der Exponentialfunktionen auf Seite 103 oben klar machen.

In Abschnitt 8.2 wird daran erinnert, dass Sie beim Thema "Grenzwerte" eine besondere Zahl kennen gelernt haben, nämlich die Eulersche Zahl, die mit e bezeichnet wird. (Begleitmaterial "Folgen und Grenzwerte", Abschnitt 5.3). e ist in diesem Zusammenhang kein Buchstabe, sondern eine Zahl, und zwar 2,71828.... Dass ein Buchstabe für eine Zahl steht, kennen Sie: Der griechische Buchstaben pi steht in der Geometrie für 3,14....
Die Zahl e ist der Grenzwert der Folge ((1+1/n)hoch n).

Da stellt sich doch die Frage, was diese "verrückte" Zahl mit der Differenzial- und Integralrechnung zu tun hat? Die überraschende Antwort finden Sie im Abschnitt 9.2 auf Seite 115, Satz 1:
Die Ableitung der Funktion e hoch x ist wieder e hoch x.
Das ist das Einzige, was Sie sich aus Abschnitt 9.2 merken müssen. Die sehr aufwändigen Beweise sind nur etwas für Liebhaber.

Jetzt verdient die Funktion e hoch x nochmals unsere Aufmerksamkeit. Wir kehren zurück zu den Seiten 104 und 105. Die Funktion e hoch x ist ein Spezialfall der allgemeinen Exponentialfunktion a hoch x. Bestätigen Sie dies, indem Sie die Eigenschaften 1 bis 6 auf Seite 103 mit denen auf den Seiten 104/105 vergleichen.
Interessant ist noch die Aufgabe auf Seite 105 unten. Mit dieser Aufgabe sollten Sie sich beschäftigen.

Die Exponentialfunktionen haben etwas mit Wachstum bzw. Zerfall zu tun. Sie beschreiben bei bestimmten Prozessen - zum Beispiel bei vielen Naturprozessen - wie eine anfangs vorhandene Menge oder Größe im Laufe der Zeit wächst oder abnimmt. Wenn Sie sich für Beispiele interessieren, lesen Sie Abschnitt 8.4.

Will man bei einem Wachstumsprozess auch wissen, wie schnell das Wachstum verläuft, muss man die Wachstumsgeschwindigkeit berechnen. Und um diese zu bestimmen, braucht man die Ableitung der Exponentialfunktion. Und da ist die e-Funktion sehr hilfreich, weil sie ja so leicht zu differenzieren ist. Näheres zur Wachstumsgeschwindigkeit können Sie im Abschnitt 9.1 nachlesen; Anwendungsbeispiele finden Sie im Abschnitt 9.3.

Noch nicht angesprochen haben wir den Abschnitt 8.3. Hier ist von der Logarithmusfunktion die Rede. Was müssen Sie sich davon merken?
1) Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrung der entsprechenden Exponentialfunktion (Seite 107).
2) Den Graphen einer Logarithmusfunktion erhält man, wenn man den Graphen der entsprechenden Exponentialfunktion an der 1. Winkelhalbierenden spiegelt (siehe die beiden Abbildungen auf Seite 155 unten).
3) Am Graphen einer Logarithmusfunktion kann man sich die Eigenschaften der Logarithmusfunktionen, die auf Seite 108 (Punkt 1-6) zusammengestellt sind, klar machen.
4) Der Logarithmus, der zur e-Funktion gehört (d.h. der die Umkehrung der e-Funktion ist), heißt "natürlicher Logarithmus" und wird mit "ln x" bezeichnet (Seite 108).

Eine nützliche Anwendung des Logarithmus steht im oberen Teil von Seite 109. Sie ist Voraussetzung dafür, dass man eine beliebige Exponentialfunktion einfach differenzieren kann.

Ich wünsche Ihnen, dass Sie durchhalten und mit Ihren Prüfungsvorbereitungen gut vorankommen.

Ferdinand Weber
03.02.10
 
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