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Allgemeine Informationen  
Lerncheck Mathematik 
 
Liebe Kollegiatin, lieber Kollegiat,

Integralrechnung ist angesagt. Die ersten beiden Lektionen zu diesem Thema bieten eine Einführung in dieses wichtige Teilgebiet der Analysis. Und wie immer in der Mathematik, wenn schwierige Begriffe am Anfang exakt definiert oder tragende Sätze bewiesen werden müssen, werden die Argumentationen häufig sehr komplex und abstrakt. Der formale Aufwand wird so gewaltig, dass man leicht den Überblick verliert und im Gestrüpp von Formeln und logischen Einzelschritten hängenbleibt. Da fragt man sich doch gelegentlich: Was muss ich von dem allem wirklich verstanden haben, was muss ich behalten und was ist nicht so wichtig?
Im Folgenden erfahren Sie, was Sie unbedingt verstanden haben müssen und als Grundwissen für die Integralrechnung benötigen.

1) In der Integralrechnung geht es um Flächeninhalte. Das Problem ist, dass mindestens eine Begrenzungslinie der gesuchten Fläche nicht gerade, sondern gekrümmt ist. Deshalb muss ein solcher Flächeninhalt durch bekannte Figuren, z.B. Rechtecke, angenähert werden. Die Abbildungen auf der Seiten 7 (unten) und 9 (unten) verdeutlichen dies.

2) Liegt die betrachtete Fläche im Koordinatensystem, so spielen die Randfunktion, die untere Grenze und die obere Grenze eine Rolle. Diese Begriffe werden auf Seite 8 erklärt.

3) In den Beispielen und Aufgaben kann die obere Grenze eine feste Zahl sein, sie kann aber auch eine Variable sein; diese wird dann mit xo bezeichnet. In Ihrem Begleitmaterial ist die kleine Null rechts neben dem x als Index an das x angehängt. Weil der Zeichenvorrat hier begrenzt ist, schreiben wir im Folgenden immer xo. Das Gleiche gilt für das Symbol Fo.

4) Für den Flächeninhalt zwischen der unteren und der oberen Grenze bei gegebener Randfunktion wird auf Seite 10 das Symbol Fo(xo) eingeführt. Es ist nur von vorübergehender Bedeutung, weil auf Seite 29 das Integralzeichen eingeführt wird und dieses das Fo(xo) ersetzt.

5) Der Inhalt der Seiten 11-15 mündet in die 4 Formeln auf Seite 16 (rot unterlegt). Mit diesen Formeln kann man bei den vier genannten Randfunktionen jeweils den Flächeninhalt "unter der Randfunktion" bei unterer Grenze 0 und variabler oberer Grenze xo, also Fo(xo), berechnen. Prüfen Sie in Aufgabe 1 von 1.2 (Seite 16), ob Sie dies verstanden haben. Wenn ja, können Sie auf die Herleitungen auf den Seiten 11-15 verzichten.

6) Im Abschnitt 1.3 wird der Flächeninhalt "unter der Normalparabel" von 0 bis zur variablen oberen Grenze xo durch Annäherung bestimmt. Weil man ihn nicht einfach berechnen kann, sondern annähern muss, kommt der Grenzwert ins Spiel. Die Herleitung ist aufwändig, das Ergebnis einfach. Es steht auf Seite 19 (rot unterlegt). Wenn Sie die Formeln auf Seite 16 verstanden haben, dürfte Ihnen die Formel auf Seite 19 keine Schwierigkeiten machen. Auf das Durcharbeiten der Seite 18 können Sie dann verzichten. Prüfen Sie Ihr Wissen mit Aufgabe 1 von 1.3 (Seite 19).

7) Abschnitt 1.4 dient nur der Vertiefung. Für Mathematik-Interessierte unter Ihnen ist er sicher lesenswert. Die Anderen können ihn, ohne Schaden zu nehmen, übergehen.

Nun zur Lektion 2.

1) Die oben genannten Formeln auf den Seiten 16 und 19 gelten nur, wenn die untere Grenze 0 ist. Wie berechnet man aber den Flächeninhalt, wenn die untere Grenze nicht 0, sondern zum Beispiel a ist? Darum geht es in Abschnitt 2.1. Das Wichtigste ist auf Seite 23 oben in der folgenden Formel zusammengefasst:
Fa(xo) = Fo(xo) - Fo(a).
Anschaulich ist das ganz einfach. Die Formel sagt: Willst du den Flächeninhalt unter der Randfunktion von a bis xo wissen, dann berechne zunächst den Flächeninhalt von 0 bis xo und subtrahiere davon den Flächeninhalt von 0 bis a. Mehr brauchen Sie sich von Abschnitt 2.1 nicht zu merken. Aber die Aufgaben 1 bis 3 auf Seite 26 sollten Sie auf jeden Fall bearbeiten.

2) Die Formel Fa(a) = 0 (Seite 25) ist anschaulich unmittelbar einsichtig: Wenn untere und obere Grenze zusammenfallen, ist der Flächeninhalt Null.

3) Aus Abschnitt 2.2 sollten Sie sich unbedingt merken: Wenn der Graph der Randfunktion unterhalb der x-Achse verläuft, wird der zugehörige Flächeninhalt negativ gezählt. Prüfen Sie Ihr Wissen an den Aufgaben 1 bis 3 auf Seite 28.

4) Auf Seite 29 wird das Integralzeichen eingeführt. Für die weitere Beschäftigung mit der Integralrechnung müssen Sie dieses Zeichen unbedingt verstehen: Wo finde ich die untere Grenze, wo die obere Grenze, wo steht die Randfunktion? Machen Sie sich dies an Hand der Seiten 29 und 30 klar, und üben Sie es mit den Aufgaben von Nr.1 auf Seite 32 und den Wiederholungsaufgaben Nr.1 auf Seite 33 ein.

5) Die Seiten 31 und 32 sind nur für Interessierte gedacht.

Viel Erfolg!
Ferdinand Weber

 
25.06.09 
 
Quick Lerncheck 
 

Dear Telekolleg students,
What a horrible experience Diana Thomas had! If the cleaners HADN’T COME and INFORMED the doctor who then came back to the surgery she WOULD HAVE SPENT* the whole night on Dr Thomas’couch, afraid to move because of the acupuncture needles in her back! However, on the whole (im grossen und ganzen) many people have had very positive experiences with acupuncture. My mother, for example, had a slipped disc (Bandscheibenvorfall) and she was sent to four orthopedic consultants and a physiotherapist. However, as a result of the treatment she was given, her situation became even worse- she could hardly move because of the pain.
Her brother – in - law recommended her to go to Mr Sofrunia, an expert in acupuncture. My mother, however, TOLD her brother-in-law that he WAS silly. But, in the end she agreed and was very surprised to find that after three months of treatment the pain disappeared completely.
Our family doctor who had also been very sceptical of acupuncture visited China and ASKED TO SEE an operation . He was also surprised to see that the surgeon carried out (führte…durch) the operation without the use of an anaesthetic: The acupuncture needles in the patient’s body, obviously had the same effect as an anaesthetic. The patient was even able to speak to the surgeon while they were operating on his stomach!
So maybe, we can learn a lot from alternative methods of healing, even if, of course traditional western medicine will still be the main sort of medicine we use.