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Quick Lerncheck Mathematik   
 
Liebe Kollegiatin, lieber Kollegiat,

in den beiden Lektionen 8 und 9 zur Differenzialrechnung, die wir heute unter die Lupe nehmen, geht es um das Thema "Kurvendiskussion". Dieses ist ein von Prüfungskommissionen häufig gewähltes Thema. Es ist aber auch bei Kandidatinnen und Kandidaten recht beliebt. Warum? Die Antwort ist einfach. Bei diesem Aufgabentyp gibt es Lösungsrezepte, nach denen fast alle Aufgaben dieser Art abgearbeitet werden können.
Im Folgenden werden konkrete Handlungsanweisungen zum Lösen von Aufgaben "Rezepte" genannt. Dies kommt manchem Mathematiklehrer vielleicht despektierlich vor. Es beschreibt aber für Sie genau das, was Ihnen beim Lösen entsprechender Aufgaben eine Hilfe sein soll: Sie können die Handlungsanweisungen Schritt für Schritt abarbeiten.

Das Rezept zum Lösen von Aufgaben zur Kurvendiskussion finden Sie in Ihrem Begleitmaterial auf Seite 126. Es ist für Sie der Dreh- und Angelpunkt der beiden Lektionen.
Nur dieses Rezept müssen Sie sich merken und in Aufgaben anwenden können.

Die Herleitungen und Beweise der mathematischen Aussagen in den Lektionen 8 und 9, die zu diesem Rezept führen, sind aufwändig. Sie sollten sich mit den theoretischen Ausführungen nur dann beschäftigen, wenn Sie wissen wollen, wie man zu dem Rezept kommt.

Ansonsten genügt es, wenn Sie die Beispiele in den Lektionen 8 und 9 durcharbeiten (insbesondere die auf den Seiten 122-126).
Ferner sollten Sie die folgenden Aufgaben unter Zuhilfenahme der oben genannten "Zusammenstellung der wichtigsten Schritte einer Kurvendiskussion" (Seite 126) bearbeiteten:
Nr.2 von 8.2 (Seite 111),
Nr.1 der "Wiederholungsaufgaben" (Seite 111),
die Aufgaben zu 9.1 (Seite 118) und zu 9.3 (Seite 126),
Nr.1 von 9.2 (Seite 122).
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Nun noch einige weitere Hinweise zu speziellen Themen bzw. Aufgaben in den Lektionen 8 und 9.

1. Lücken in der Definitionsmenge

Bei gebrochen rationalen Funktionen wird im Rahmen einer Kurvendiskussion bisweilen auch nach den Lücken im Definitionsbereich gefragt. Dies wurde in Lektion 1 behandelt (Abschnitt 1.3; Seiten 18/19). Zur Beantwortung solcher Fragen gebe ich Ihnen jetzt ein möglichst gut handhabbares Rezept:
(1) Bestimmen Sie die Nullstellen des Nenners.
(2) Setzen Sie die gefundenen Werte in den Zähler ein. Wird der Zähler auch Null, so liegt eine sogenannte hebbare Lücke vor. Salopp gesagt: Der Graph hat dort ein Loch.
(3) Wird der Zähler nicht Null, so liegt ein sogenannter Pol vor. Der Graph geht bei Annäherung an diese Stelle gegen plus oder minus Unendlich. Um zu prüfen, ob der Graph von links kommend gegen plus oder gegen minus Unendlich geht, setzen Sie einen x-Wert, der sich links nahe bei dieser kritischen Stelle befindet, in die Funktionsgleichung ein. Ergibt sich ein positiver Wert, so ist dies ein Anzeichen dafür, dass der Graph gegen plus Unendlich geht. Um das Verhalten des Graphen rechts des Pols zu klären, verfahren Sie entsprechend mit einem Funktionswert, der rechts nahe bei dem Pol liegt.

2. Monotonie-Untersuchungen

In Aufgaben des Begleitmaterials, der Arbeitsbögen und möglicherweise auch in Prüfungen wird gelegentlich gefragt, in welchen Intervallen eine gegebene Funktion monoton wachsend bzw. fallend ist. Dies wird im Abschnitt 8.1 behandelt.

Zum Lösen solcher Aufgaben gebe ich Ihnen jetzt auch ein Rezept. Dieses Rezept empfinden Sie sicher als einfacher, als die auf Korrektheit und Vollständigkeit zielenden Ausführungen im Begleitmaterial. Es ist auf ganzrationale und gebrochen rationale Funktionen anwendbar. Im Telekolleg kommen fast nur solche Funktionen vor.

(1) Bestimmen Sie die (lokalen) Hoch- und Tiefpunkte und die Lücken in der Definitionsmenge der gegebenen Funktion.
(2) Markieren Sie nun auf der x-Achse die x-Werte dieser Punkte. Je zwei aufeinander folgende Punkte (von links nach rechts) bilden ein Intervall. Innerhalb dieser Intervalle ist die Funktion monoton.
(3) Prüfen Sie für jedes dieser Intervalle, ob die Funktion wachsend oder fallend ist, indem Sie einen beliebigen x-Wert aus dem Intervall in die erste Ableitung der Funktion einsetzen und berechnen, ob die erste Ableitung an dieser Stelle positiv oder negativ ist.
(4) Ist der Wert negativ, so ist die Funktion in dem betrachteten Intervall monoton fallend. Ist der Wert positiv, so ist sie monoton steigend.

3. Globale Extremwerte

Schließlich benötigen Sie zum Lösen von Aufgaben zur Kurvendiskussion gelegentlich noch einen weiteren Begriff: Globaler Extremwert. Er ist auf Seite 108 erklärt.

Für ganzrationale Funktionen können Sie sich Folgendes merken: Nur wenn der Definitionsbereich der Funktion auf ein Intervall eingeschränkt ist (siehe Grafik Seite 108) müssen die Funktionswerte in den Randpunkten des Intervalls berechnet werden. Nur dann kann es passieren, dass das globale Maximum bzw. Minimum nicht unter den lokalen Extremwerten zu finden ist. Wenn der Definitionsbereich nicht auf ein Intervall beschränkt ist oder in der Aufgabenstellung nur nach den l o k a l e n Extremwerten gefragt ist, kann man sich – was die Extremwerte betrifft - auf die Anwendung des Rezepts zur Bestimmung der Extremwerte beschränken.

Ich wünsche Ihnen motivierende Erfolgserlebnisse beim Lösen von Aufgaben zur Kurvendiskussion.
Ferdinand Weber
28.05.09
 
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