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Liebe Kollegiatin, lieber Kollegiat,
um es gleich vorweg zu sagen: Diejenigen von Ihnen, die sich nur auf das Wesentliche und Notwendige konzentrieren und beschränken wollen (und das werden die Meisten von Ihnen sein), müssen in den Lektionen 4 und 5 nur ganz wenig lernen, auf Dauer behalten und anwenden können. An diese Gruppe richten sich die heutigen Lernhilfen. Für diejenigen, die sich aber tiefergehend mit Mathematik beschäftigen wollen, bieten die Lektionen 4 und 5 reichhaltige Anregungen.

Was gehört in Lektion 4 zum Grundwissen?
1) Sie müssen die Ableitung der Sinusfunktion und der Kosinusfunktion kennen. Dies steht im roten Kasten auf Seite 48.
2) Sie müssen die Ableitung der Wurzelfunktion kennen. Dies steht im roten Kasten auf Seite 54.
3) Von den Aufgaben sollten Sie vor allem bearbeiten: Aufgaben zu 4.4: Nr.3 (Seite 54); Wiederholungsaufgaben: Nr.: 2 und 3a-d (Seite 54).

Was gehört in Lektion 5 zum Grundwissen?
1) Sie müssen die Ableitung der Funktion y=1/x kennen. Dies steht im roten Kasten auf Seite 58 (oben).
2) Sie sollten wissen, dass man von der 1. Ableitung wieder eine Ableitung bilden kann (2. Ableitung) und davon wieder eine (3. Ableitung) und so fort. Man nennt das "Höhere Ableitungen" (siehe Seite 70 ff.). Das Wesentliche wird in dem Beispiel auf Seite 71 deutlich.
3) Von den Aufgaben sollten Sie vor allem bearbeiten: Aufgaben zu 5.2: Nr.1 (Seite 59); Aufgaben zu 5.7: Nr.1 und Nr. 2 (Seite 72).

In den Lektionen 4 und 5 ist vielfach von Stetigkeit und Differenzierbarkeit die Rede. In diese Begrifflichkeit müssen Sie nicht tiefer eindringen. Für den Hausgebrauch hat man sich eine auf der Anschauung fußende Merkregel ausgedacht, die für eine erste Vorstellung von dem, was man unter den beiden Begriffen versteht, ausreicht:
Eine Funktion ist stetig, wenn der Graph zusammenhängend ist, d.h. keinen Sprung macht und keine Lücke hat.
Eine Funktion ist differenzierbar, wenn der Graph glatt ist, d.h. keine Ecken hat.
Dass der Graph "zusammenhängend" sein muss, um "glatt" zu sein, ist eine saloppe Beschreibung des rot unterlegten Satzes auf Seite 62: "Die Stetigkeit ist eine notwendige Voraussetzung für die Differenzierbarkeit."
Die salopp anschaulich formulierte Merkregel und die Folgerung daraus sind natürlich keine mathematisch exakten Aussagen, und der kluge Mathematiker kann sofort mehr oder weniger ausgefallene Beispiele nennen, in denen diese Merkregel versagt. Aber für die Funktionen, die im Telekolleg eine Rolle spielen, ist die Merkregel sicher eine anschauliche Hilfe.

Wenn Sie in Zeitnot sind, übergehen Sie auf jeden Fall alle Abschnitte, die kleingedruckt sind: Seite 48-51 und die Abschnitte 5.5 und 5.6.

Was gehört in Lektion 6 zum Grundwissen?
Eigentlich sind nur zwei Regeln wichtig: die Produktregel und die Quotientenregel. Merken Sie sich die Regeln in der Kurzform (Seite 78 und 81). Die Beweise können Sie sich ersparen. An den Beispielen lernen Sie, wie man die Regeln anwendet: Seite 79 (Mitte), Seite 81 (unten) und Seite 82 (oben). Die Aufgaben von 6.4 auf Seite 79, von 6.5 auf Seite 82 und die Wiederholungsaufgaben 1 bis 4 auf Seite 84 sollten Sie auf jeden Fall alle lösen. Solche Aufgaben müssen Sie beherrschen.

Am Ende von Lektion 6 haben Sie eine ganze Reihe von Ableitungsregeln zur Verfügung: die Summenregel, die Produktregel, die Quotientenregel. Hat man nun so einen komplexeren Funktionsterm vor sich, da stellt sich doch zunächst einmal die Frage: Welche Regel soll ich auswählen? Um zu entscheiden, welche Ableitungsregel für eine gegebene Funktion die Richtige ist, muss zunächst die Art des Terms festgestellt werden. Dazu einige Beispiele.

Mit welchem Begriff würden Sie in den folgenden Aufgaben den Term jeweils beschreiben? Ist es eine Summe oder ein Produkt oder ein Quotient? Die Lösungen finden Sie am Ende des Newsletter.
1) f(x) = sin x / (x^2+2)
2) f(x) = (x^2+2)*sin x
3) f(x) = x^2+2*sin x
4) f(x) = (x^2+2)*sin x + x

Wenn Sie unsicher sind, kann folgender Tipp weiter helfen: Denken Sie sich an den Stellen, an denen x steht, eine Zahl, und überlegen Sie die Reihenfolge der Rechenschritte. Beachten Sie dabei, dass Punktrechnung vor Strichrechnung geht. Was dann zuletzt ausgerechnet wird, gibt dem Term den Namen. Und die entsprechende Regel müssen Sie anwenden.
Ein Beispiel:
Ist folgender Term eine Summe, eine Differenz, ein Produkt oder ein Quotient?
x + x * cos x
Antwort: Denken wir uns an allen Stellen, an denen x steht, eine Zahl - zum Beispiel: 5.
5 + 5 * cos 5
Was wird zuerst ausgerechnet – die Summe oder das Produkt? Da Punktrechnung vor Strichrechnung geht, wird zuerst das Produkt ausgerechnet und dann die Summe. Hier müsste beim Differenzieren also die Summenregel angewendet werden.

Und hier jetzt die Lösungen der obigen Aufgaben:
1) Quotient! Begründung: Würde man für x eine Zahl einsetzen, so würde zuerst der Zähler, dann der Nenner und zuletzt der Quotient berechnet. Hier muss man also mit der Quotientenregel ableiten.
2) Produkt! Begründung: Nach Einsetzen einer Zahl für x würde zuerst die Klammer, dann der Sinus und zuletzt das Produkt ausgerechnet. Hier muss man also die Produktregel anwenden.
3) Summe! Begründung: Nach Einsetzen einer Zahl für x würde zuerst x^2 berechnet, dann 2*sin x, und zuletzt müsste man alles addieren. Hier führt die Summenregel zum Ziel.
4) Summe! Begründung: Nach Einsetzen einer Zahl für x würde zuerst die Klammer berechnet, dann der Sinus, dann das Produkt und zuletzt die Summe.

In Lektion 7 lernen Sie eine vorläufig letzte Regel kennen: die Kettenregel. Die Herleitung und die formale Schreibweise der Regel machen Lernenden oft größere Schwierigkeiten. Was Sie beherrschen müssen, ist aber nur die Anwendung der Regel auf gegebene Funktionen. Im nächsten Newsletter gebe ich Ihnen dazu ein paar handfeste Tipps.

Bis dann!
Ferdinand Weber

30.04.09
 
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Dear Telekolleg students,
What wonderful weather we’re having! I’m so happy that our long winter has finally gone. Of course, if we l i v e d in some parts of England we w o u l d n ’ t be so happy. The weather hasn’t been so wonderful there. Here in Bavaria, however, except for a couple of small storms, the weather has been really lovely and hot for the last ten days. Sometimes the weather has been too good! If the weather
w a s (w e r e) not so beautiful I w o u l dn t